Unidad didáctica 9 Geometría plana


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1 Unidad didáctica 9 Geometría plana

2 1.- Ángulos Un ángulo es la porción de plano limitada por dos semirrectas que tienen el mismo origen. Los lados del ángulo son las semirrectas que lo forman. El vértice del ángulo es el punto común que es origen de los lados. Los ángulos se suelen representar con letras mayúsculas con un arco encima: Â: La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que divide el ángulo en dos partes iguales Tipos de ángulos Un ángulo completo es el que está delimitado por dos semirrectas que coinciden. Su amplitud es de 360º. Llano, es el ángulo formado por dos semirrectas opuestas. Tiene sus lados en la misma recta. Su amplitud es la mitad de un ángulo completo, es decir, de 180º. Ángulo Recto, es el formado por dos rectas perpendiculares. Su amplitud es de 90º. Agudo, es todo ángulo cuya amplitud sea menor que la del recto, es decir, menor de 90º. Obtuso, es aquel cuya amplitud es mayor que la del ángulo recto y menor que la del llano, es decir, está comprendida entre 90º y 180º. Cóncavo, es el que vale menos que un llano. Comprende a los agudos, rectos y obtusos. Convexo, es el que vale más que un llano. Ángulos complementarios, son los que sumados valen 90º, es decir, un ángulo recto. Ángulos suplementarios, son los que sumados valen 180º, es decir, un ángulo llano. El instrumento para medir un ángulo en grados sexagesimales se denomina transportador y es un medio círculo graduado con doble escala, una de 0º a 180º y la otra de 180º a 0º. Unidad didáctica 9: Geometría plana pag. 1

3 2.- Polígonos Se llama polígono a una parte del plano limitado por una línea quebrada cerrada Tipos de polígonos. Polígono convexo: es el que tiene todos sus ángulos menores de 180º. Polígono cóncavo: es el que tiene al menos un ángulo mayor de 180º. Polígonos irregulares: son los que tienen los lados de distinta longitud y sus ángulos tampoco son iguales. Polígonos regulares: son los que tienen sus lados y sus ángulos iguales. Polígonos por el número de lados: El polígono de 3 lados se llama triángulo; de 4 cuadrilátero; de 5 pentágono; de 6 hexágono; de 7 heptágono; de 8 octógono; de 9 eneágono y de 10 lados decágono Elementos de un polígono. Lados: son los segmentos que componen el contorno. En este caso hay 5 lados: AB, BC, CD, DE y EA. Vértice: punto donde se cortan dos lados consecutivos. En el dibujo hay 5 vértices: A, B, C, D y E. Diagonal: es toda recta que une dos vértices no consecutivos. En el dibujo hay 5 diagonales: AC, AD, BD, BE y CE. Perímetro: es la suma de la longitud de todos sus lados. 3.- Triángulo. Es un polígono de tres lados y tres ángulos interiores. La suma de sus ángulos es de 180º Elementos del triángulo Base: es el lado sobre el que se apoya el triángulo. Altura: línea que baja perpendicular desde el vértice opuesto hasta la base. En el triángulo de la derecha (obtusángulo) para hallar la altura hay que prolongar la base. Unidad didáctica 9: Geometría plana pag. 2

4 3.1.- Clases de triángulos por sus ángulos. Triángulo rectángulo: es el que tiene un ángulo recto, el ABC; Triángulo obtusángulo: es el que tiene un ángulo obtuso, es el BAC; Triángulo acutángulo: es el que tiene los 3 ángulos agudos Clases de triángulos por sus lados Equilátero: es el que tiene los tres lados iguales. Isósceles: es el que tienen dos lados iguales. Escaleno: es el que tiene sus tres lados desiguales El triángulo rectángulo Es el que tiene un ángulo recto. Al lado opuesto al ángulo recto se le llama hipotenusa; a los lados que forman el ángulo recto se les llama catetos Teorema de Pitágoras El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a 2 = b 2 + c 2 Comprobación: El triángulo ABC es rectángulo y vemos que el cateto AB mide 3 cm; el cateto AC, 4 cm y la hipotenusa BC mide 5 cm. El cuadrado de la hipotenusa BC: 5 2 = 25 cm 2. El cuadrado construido sobre el cateto AC: 4 2 = 16 cm 2. El cuadrado sobre el cateto AB: 3 2 = 9 cm 2. Observamos que 25 = Unidad didáctica 9: Geometría plana pag. 3

5 4.- Cuadriláteros Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. La suma de sus ángulos interiores es de 360 º Clasificación de los cuadriláteros Paralelogramo: es el que tiene sus lados opuestos son paralelos dos a dos. Trapecio: es el que tiene solo dos lados paralelos. Trapezoide: es el que no tiene ningún lado paralelo Clasificación de los paralelogramos El cuadrado tiene los cuatro ángulos rectos y sus lados son iguales. Es el cuadrilátero regular El rectángulo tiene cuatro ángulos rectos y sus lados consecutivos no son iguales. El rombo no tiene ángulos rectos y sus lados son iguales. El romboide no tiene ángulos rectos y sus lados consecutivos no son iguales. 5.- Circunferencia y círculo La circunferencia: es una curva cerrada tal que todos sus puntos están a la misma distancia del centro. El círculo es la porción de superficie plana que queda dentro de la circunferencia. La cara de una moneda es un ejemplo de círculo y el borde de la moneda es un ejemplo de circunferencia Elementos de la circunferencia. Arco: es una porción de la circunferencia. Cuerda: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro. Radio: es un segmento cuyos extremos son el centro y un punto de la circunferencia. Diámetro: es una cuerda que pasa por el centro. Equivale a dos radios. El diámetro divide a la circunferencia en dos semicircunferencias. Recta secante: es la que corta a la circunferencia en dos puntos. Recta tangente: es la que toca a la circunferencia en un punto. Longitud de la circunferencia: L = 2 π r Unidad didáctica 9: Geometría plana pag. 4

6 5.2.- Elementos del círculo El diámetro divide al círculo en dos semicírculos. Sector circular: parte del círculo comprendida entre dos radios y un arco se llama. Si el sector circular comprende la cuarta parte del círculo, se llama cuadrante. Segmento circular: parte del círculo comprendida entre un arco y una cuerda. Corona circular: es el espacio comprendido entre dos circunferencias concéntricas (que tienen el mismo centro). 6.- Áreas de figuras geométricas. Nombre Fórmula Figura Triángulo b h A = 2 Cuadrado A = L 2 Rectángulo A = b x h Rombo d1 d2 A = 2 Romboide A = b x h Trapecio (b1+ b2) h A = 2 Polígono regular perímetro apotema A = 2 Círculo A = π x r 2 Unidad didáctica 9: Geometría plana pag. 5

7 7.- Escalas: planos y mapas. Un plano o mapa es una representación gráfica de una parte de la superficie terrestre en papel u otro material de menores dimensiones, siguiendo un sistema de proporciones llamado escala. Es decir, es un dibujo en dos dimensiones que trata de representar un espacio real o un paisaje, de tres dimensiones, pero visto desde arriba, como si lo observásemos desde un avión Clasificación. Croquis: son representaciones gráficas en dos dimensiones y vistas desde arriba, pero los elementos que incluyen no siempre están bien proporcionados entre sí, además utilizan muchos elementos simbólicos o esquemáticos. Ejemplos de este tipo son los planos del metro, los planos que vienen en las tarjetas de los comercios o restaurantes, esquemas rápidos que dibujamos para que algún amigo llegue a nuestra casa si no conoce la dirección, etc. Planos: son representaciones gráficas muy exactas, que tratan de reflejar la realidad de forma fiel y muy técnica, tanto en las medidas como en los elementos dibujados, normalmente se habla de planos cuando representan espacios artificialmente construidos. La escala es mayor de 1: Mapas: son representaciones de territorios (incluyendo terrenos urbanizados y no urbanizados), en los cuales el relieve cobra gran importancia y suele estar representado de alguna forma (colores, curvas de nivel ). Los hay de muy diferente calidad, pero todos deben ser proporcionados, responder a una escala fija y evitar dibujos figurativos. Los mapas de gran calidad ofrecen gran exactitud y mucha información. Los mapas también indican claramente cual es su orientación con respecto al norte (que, de forma convencional, será el borde superior de la hoja). Además incluyen datos numéricos de coordenadas para que se sepa a qué parte de la superficie de la Tierra corresponden. La escala es mayor de 1: La escala. La escala es la relación matemática que existe entre las dimensiones reales y las del dibujo que representa la realidad sobre un plano o un mapa. Las formas de representar las escalas son variadas, las más comunes son: Unidad didáctica 9: Geometría plana pag. 6

8 Escala numérica: se representa mediante un coeficiente de reducción que nos indica la relación entre la distancia en el mapa y en la realidad. Ejemplo: 1/50000 o bien 1: El número obtenido por el cociente nos indica el valor por el que se ha de dividir una distancia cualquiera del mapa para obtener la distancia real en el terreno. Es la forma más habitual de representar la escala, ya que da igual la unidad de medida utilizada en el plano. Escala numérica = E = Longitud sobre el plano Longitud sobre el terreno Escala gráfica: se trata de un segmento subdividido en segmentos más pequeños correspondientes a longitudes determinadas del terreno. Por ejemplo: Unidad didáctica 9: Geometría plana pag. 7

9 Ejercicios de Geometría 1.- El lado de un hexágono regular mide 5 cm. Cuántos cm medirá su perímetro? 2.- Un triángulo equilátero tiene un perímetro de 15 metros. Cuánto mide un solo lado? 3.- Un cuadrado tiene 5 m de lado. Cuál es su perímetro? Cuál es su área? 4.- El área de un rectángulo es 102 cm 2 y su base 5'1 dm. Cuánto mide la altura? 5.- La base de un triángulo mide 14 cm y la altura 80 mm. Cuál es su área? 6.- Halla la longitud de una plaza de toros que mide 116 m de diámetro. 7.- Calcula el área de un círculo de 7 m de diámetro. 8.- Un árbol mide 1'5 m de perímetro. Cuál es su diámetro? 9.- La base de un romboide es 7 cm y su altura 4 cm Cuál es su superficie? 10.- Cuál es el área de un rombo cuyas diagonales miden 12'6 m 18'2 m? 11.- Halla el área de un trapecio cuyas bases miden 6 cm y 4 cm y su altura 2 cm Halla el área de un cuadrado cuyo perímetro es igual al de un triángulo equilátero de 4 m de lado Halla el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un rombo de 3'15 dm de lado Los lados de un rectángulo, miden 42'5 m y 23'7 m. Halla: a) el perímetro, b) el área, c) la diagonal El lado de un triángulo equilátero mide 6 m. a) Cuánto vale el perímetro? b) Cuánto mide la altura? c) Cuánto vale el área? 16.- Cuántas baldosas cuadradas son necesarias para embaldosar una sala de 16 m de largo por 12 m de ancho, si las baldosas tienen 20 cm de lado? 17.- Una fuente está rodeada por dos circunferencias de radios 15 m y 20 m, ambas con centro en el caño de la fuente. Queremos cubrir con un cemento especial la superficie comprendida entre las dos circunferencias. Cuál es su área? 18.- Determina el perímetro y el área total de la siguiente figura plana: Unidad didáctica 9: Geometría plana pag. 8

10 1.- Qué quiere decir 1/50000 o 1:50000? Ejercicios de escala 2.- Tenemos dos mapas diferentes de un mismo lugar, uno a escala 1: y otro a escala 1: , Cuál de los dos mapas es más grande? 3.- En un mapa, dos ciudades están separadas 2 cm. a) Si el mapa está realizado a escala 1: , determina la distancia real en km, que las separa. b) Y si la escala del mapa fuera 1: ? 4.- Determina la escala a la que se ha hecho el plano de una ciudad, si 1000 m de la realidad se representan por 2 cm en el plano. 5.- Un mapa está realizado a escala 1: Calcula la distancia que en el mapa separa dos puntos cuya distancia real es de 25 km. 6.- En un microscopio, un insecto de 12 mm de longitud se ve con un tamaño de 24 cm. Calcula los aumentos del microscopio. 7.- El dibujo representa el plano de una casa. a) Cuál es la medida real de la habitación de matrimonio? (marcado con el 7 en el plano) b) Y cuántos metros cuadrados tiene? c) Cuáles son las dimensiones del baño 6? Y su superficie? d) Qué superficie total tiene la casa? Unidad didáctica 9: Geometría plana pag. 9

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