TEMA 6: LAS FORMAS POLIGONALES


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1 EDUCACIÓN PLÁSTICA Y VISUAL 1º DE LA E.S.O. TEMA 6: LAS FORMAS POLIGONALES Los polígonos son formas muy atractivas para realizar composiciones plásticas. Son la base del llamado arte geométrico, desarrollado por artistas de diferentes culturas y épocas. Los polígonos estructuran también las plantas y las fachadas de los edificios clásicos y modernos. Asimismo el diseño gráfico actual recurre constantemente a las formas poligonales. En estas imágenes podéis ver ejemplos de decoraciones basadas en formas poligonales como las que podríamos encontrar en los palacios árabes de la Alhambra de Granada. 1.- LOS POLÍGONOS a. Elementos de un polígono Un polígono es una figura geométrica plana, limitada por segmentos de rectas, llamados lados. Los lados se cortan en puntos denominados vértices. Los ángulos de un polígono son las porciones de plano limitadas por dos lados consecutivos. Los vértices se nombran con letras mayúsculas (A, B...), y los lados, mediante sus dos vértices; por ejemplo, lado AB, o por una letra minúscula, por ejemplo, lado c. Para nombrar un polígono se emplean las letras de sus vértices; por ejemplo, en el caso de un triángulo, ABC. Las diagonales de los polígonos son segmentos que unen un vértice con otro no consecutivo. Por eso el triángulo no tiene diagonales, mientras que un cuadrado tiene dos. b. Clasificación de polígonos Según la medida de sus lados y ángulos, un polígono puede ser regular o irregular. Los polígonos regulares tienen sus lados iguales. Sus ángulos también miden lo mismo. Los polígonos irregulares tienen, sin embargo, lados y ángulos diferentes. 1

2 Según el número de lados, los polígonos pueden ser: triángulos, cuadriláteros, pentágonos, etc. Observa algunos de los polígonos que se pueden construir en función del número de lados. Los polígonos son figuras geométricas planas, limitadas por segmentos de recta, llamados lados. Pueden ser regulares (lados y ángulos iguales) o irregulares (lados y ángulos diferentes) 2.- TRIÁNGULOS El triángulo es un polígono de tres lados y, por tanto, tres vértices. Existen diferentes clases de triángulos según la relación de igualdad o desigualdad que haya entre sus lados o entre sus ángulos. a. Clasificación de los triángulos Dependiendo de la medida de sus lados, los triángulos pueden ser escalenos, isósceles y equiláteros. El triángulo escaleno no tiene ningún lado igual. El triángulo isósceles tiene al menos dos lados iguales. El triángulo equilátero tiene sus lados y ángulos iguales. El triángulo equilátero es también isósceles, y es el único triángulo regular. Dependiendo de la clase de ángulos que posean, los triángulos pueden ser: rectángulos, obtusángulos y acutángulos. El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90 ). Los dos lados perpendiculares se llaman catetos, y el tercero, hipotenusa. El triángulo obtusángulo es el que tiene un ángulo obtuso (mayor de 90º) El triángulo acutángulo es el que tiene los tres ángulos agudos (menores de 90º) 2

3 3.- RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO En un triángulo existen rectas características: mediatrices, bisectrices, medianas y alturas. Estas rectas se cortan en los denominados puntos notables. Las mediatrices de los lados son las rectas perpendiculares a estos, trazadas por su punto medio. Las tres mediatrices se cortan en un punto llamado circuncentro: Cc. El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Las bisectrices son las rectas que bisecan los ángulos. El punto de intersección de las tres bisectrices se llama incentro: lc. El incentro equidista de los tres lados de! triángulo y por ello es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. Las medianas de un triángulo son los segmentos trazados desde los vértices hasta el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas se cortan en un punto llamado baricentro: Bc. El baricentro es el centro de gravedad del triángulo: si atamos una cuerda vertical a este centro, todo el triángulo quedaría horizontal. Las alturas son los segmentos perpendiculares a los lados, trazados hasta el vértice opuesto. En un triángulo obtusángulo, la altura correspondiente al lado del ángulo obtuso cae fuera del triángulo. Las tres alturas se cortan en un punto llamado ortocentro: Oc. 4.- CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS Existen distintos procedimientos para construir triángulos, dependiendo de los datos que conozcamos. a. Construcción de un triángulo equilátero dado el lado Se traza un segmento con la medida del lado. Con centro en sus extremos A y B, se dibujan dos arcos de radio igual al lado. Al cortárselos arcos tenemos el vértice C, opuesto al lado AB. Uniendo AC y BC obtenemos el triángulo buscado. 3

4 dado b. Construcción de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 1. Se dibuja la circunferencia de radio conocido AO. Con centro en el extremo D del diámetro AD, y el mismo radio, se traza un arco. Este arco corta a la circunferencia en dos puntos, B y C. 2. Los puntos B y C son dos de los vértices del triángulo buscado. El tercer vértice es A. Uniendo A, B y C, tendremos el triángulo inscrito. igual c. Construcción de un triángulo isósceles conociendo el lado desigual y un ángulo 1. Se parte del lado b y sobre sus extremos, A y C, se transporta, usando el compás, el ángulo dado Â. 2. Se prolongan los lados c y a hasta que se corten en el vértice B. Con los tres vértices se puede trazar el triángulo isósceles buscado. d. Construcción de un triángulo rectángulo dados su hipotenusa y un cateto 1. Se parte del segmento AB con la longitud del cateto dado, c. Sobre el punto A, se eleva una perpendicular a AB. 2. Con B como centro y radio a, se traza un arco que corte a la perpendicular en el tercer vértice, C. Para terminar, se une C con B. 4

5 e. Construcción de un triángulo cualquiera dados dos lados y el ángulo comprendido 1. Se traza uno de los lados conocidos, por ejemplo el BC, y en el vértice B se transporta mediante el compás el ángulo B. 2. Sobre el lado obtenido se construye un segmento igual al otro lado conocido, BA. Finalmente, se une A con C para completar el triángulo. 5.- CUADRILÁTEROS El cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Existen tres clases de cuadriláteros: paralelogramos, trapecios y trapezoides. a. Paralelogramos Son los cuadriláteros que tienen los lados opuestos paralelos dos a dos. Pueden ser: cuadrados, rectángulos, rombos y romboides. El cuadrado es un paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales y ángulos rectos (90 ). Las diagonales son también iguales y se bisecan, es decir, se cortan en el punto medio, y son perpendiculares. El rectángulo es un paralelogramo que tiene los lados iguales dos a dos y los ángulos rectos. Las diagonales son iguales y se bisecan, pero son, a diferencia del caso del cuadrado, oblicuas; es decir, no forman ángulo recto. El rombo es un paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales, pero los lados consecutivos son oblicuos. Las diagonales son desiguales, se bisecan y son perpendiculares. El romboide es un paralelogramo que tiene los lados iguales dos a dos y oblicuos los lados consecutivos. Las diagonales son desiguales y se bisecan, pero son oblicuas. 5

6 b. Trapecios Son los cuadriláteros que tienen solo dos lados paralelos. Pueden ser: trapecio rectángulo, trapecio isósceles y trapecio escaleno. El trapecio rectángulo tiene dos lados paralelos y dos ángulos rectos. Las diagonales son desiguales, oblicuas, y no se bisecan. El trapecio isósceles tiene dos lados paralelos y los ángulos guales dos a dos. Las diagonales son iguales, oblicuas, y no se bisecan. El trapecio escaleno tiene dos lados paralelos y los cuatro ángulos desiguales. Las diagonales son desiguales, oblicuas, y no se bisecan. c. Trapezoides El trapezoide es el cuadrilátero que no tiene ningún lado paralelo y que tiene tanto los lados como los ángulos diferentes. Las diagonales son desiguales, oblicuas, y no se bisecan. 6.- CONSTRUCCIÓN DE CUADRILÁTEROS El trazado geométrico de los cuadriláteros puede realizarse de varias maneras. Observa con atención los diferentes procedimientos que te mostramos en estas páginas. a. Construcción de un cuadrado dado el lado Se traza un segmento con la medida del lado, AB. Sobre sus extremos se levantan las perpendiculares I y m, y sobre estas, se transporta con el compás la medida del lado. Para ello, con centros en A y B, se trazan dos arcos que cortan a I y m en los puntos C y D. Al unir C y D, se obtiene el cuadrado buscado. 6

7 b. Construcción de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio dado 1. Se dibuja la circunferencia de radio conocido AO. Se traza un diámetro, con extremos A y B. 2. Se traza otro diámetro, CD, perpendicular al anterior. A, B, C y D son los vértices del cuadrado buscado. c. Construcción de un rectángulo conociendo la diagonal y un lado 1. Se traza la diagonal AC y, haciendo centro en su punto medio O, se traza la circunferencia de radio OC. Con centro en C y radio igual al lado, se traza un arco que corta a la circunferencia en el vértice B. 2. Al unir B con A y C se tienen los dos primeros lados. Se traza, usando las plantillas, una paralela a BC que pase por A. Esta paralela corta a la circunferencia en el punto D, el último vértice del rectángulo. d. Construcción de un rombo dadas las dos diagonales 1. Se dibuja la primera diagonal AC y se traza su mediatriz, que corta a AC en el punto O. 2. A partir de O, se lleva sobre la mediatriz la mitad de la segunda diagonal BD en los dos sentidos, OB y OD. Al unir los vértices, se obtiene el rombo ABCD. 7

8 e. Construcción de un trapecio rectángulo dadas las bases y la altura 1. Se dibuja la base mayor AB, y por su extremo A, se traza una perpendicular. Sobre ésta, se levanta la altura AC. 2. Seguidamente, se traza la paralela a AB que pasa por C. Sobre ella, se transporta el segmento CD. Al unir D con B se obtiene el trapecio ABCD. 7.- POLÍGONOS REGULARES DE ÁNGULOS CONVEXOS Aunque existen diferentes métodos para construir polígonos regulares de más de cuatro lados, en este curso se presenta un método general, a partir del cual puedes trazar polígonos de cualquier número de lados. Método general de construcción de polígonos regulares Se quiere, por ejemplo, construir un polígono de cinco lados: Se dibuja un segmento AQ, de 5 cm de longitud, al que hacemos cinco divisiones iguales. En la mitad del segmento se sitúa el centro de una circunferencia cuyo radio abarca hasta los extremos de AQ. Se traza la circunferencia. Sobre el extremo A y con radio AQ, se traza un arco. Se repite la misma operación haciendo centro en el extremo Q. Llamamos P a la intersección de ambos arcos. Se une con una recta el punto P, y la segunda división del segmento AQ. Prolongando la recta hasta la circunferencia, se obtiene el punto B sobre esta. El segmento AB es el primer lado del pentágono buscado. Con ayuda del compás se transporta esta distancia cinco veces sobre la circunferencia, pinchando sucesivamente en cada nuevo vértice hasta volver al punto A. 8

9 8.- POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS Los polígonos estrellados son polígonos con ángulos cóncavos que tienen forma de estrella. Para construir estos polígonos también se puede usar un método general. a. Polígono estrellado de cinco puntas Se dibuja un pentágono regular por el método general y se borra el trazado auxiliar inicial. Se van uniendo los vértices, dejando, entre cada dos, uno sin unir. Al dar dos vueltas a la circunferencia se cierra el polígono. b. Polígono estrellado de seis puntas Este polígono se consigue dibujando dos triángulos equiláteros invertidos, inscritos en una circunferencia, borrando los trazados auxiliares iniciales. c. Polígono estrellado de siete puntas Existen dos posibilidades. En ambas se parte del heptágono regular convexo. Para trazar el primero se unen los vértices de dos en dos, es decir, dejando, entre cada dos que se unen, uno en medio sin unir. En este caso se unen los vértices del heptágono, dejando, entre cada dos, dos sin unir. Al dar tres vueltas al heptágono, se cierra el polígono. 9

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